Sistemas abiertos de fluidos

Siempre es deseable describir en términos matemáticos el comportamiento de algunos sistemas o fenómenos ya sean físicos, sociológicos o hasta económicos, esto a través de modelos que reflejan una cierta realidad. 

Recordemos que una ecuación diferencial es aquella la cual contiene derivadas de una o más variables respecto a una o más variables independientes. Por tipo las clasificamos en ecuaciónes diferenciales ordinarias (EDO) las cuales contienen sólo derivadas de una o más variables dependientes respecto a UNA sola variable independiente. Por ejemplo:

Se distinguen primordialmente porque la variable dependiente y y todas sus derivadas y, y , . . . , y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada término incluido "y" es igual a 1. 

Una ecuación que involucra derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP).  Ejemplo:

Las podemos clasificar también por orden. El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la mayor derivada en la ecuación. Por ejemplo:

La solución de una ecuación diferencial es una función que satisface la ecuación cuando se sustituyen en ella la función y sus derivadas. Una solución contiene constantes arbitrarias; una particular se obtiene al especificar el valor de las constantes de la solución general. 

Sabemos que un sistema dinámico consiste en un conjunto de variables dependientes del tiempo, que se llaman variables de estado. Existe una regla que permite determinar (sin ambigüedades) el estado del sistema (que puede ser pasado, presente o futuro) en términos de un estado prescrito al tiempo t=0 que es el valor de las variables de estado en ese instante y que ese estado es simplemente las condiciones iniciales que acompañan al modelo. La solución de un problema con valores iniciales se llama respuesta del sistema.  

El modelo matemático en un sistema dinámico continuo en el tiempo es una ecuación diferencial o sistema de ecuaciones diferenciales, por ejemplo la dinámica poblacional, el decaimiento radioactivo, la ley de enfriamiento/calentamiento de Newton, la propagación de una enfermedad, reacciones químicas, mezclas, el drenado de un tanque, circuitos en serie, cuerpos en caída y resistencia al aire, cables suspendidos, etc. 

Sin embargo, algunos sistemas son estocásticos, es decir aquellos en los que los sucesos aleatorios también afectan a la evolución de las variables de estado. Un proceso estocástico se comporta como no determinista (ese en el que el subsiguiente estado del sistema se determina tanto por las acciones predecibles del proceso como por elementos aleatorios). Los sistemas dinámicos se dividen en sistemas discretos y continuos (sistemas en los que todas las variables están definidas dentro de un intervalo continuo de tiempo.) También como sistemas lineales y no lineales. Todos los fenómenos físicos en áreas como la física, la ingeniería, las finanzas y la biología son inherentemente no lineales y, por lo tanto, se describen a través de modelos de ecuaciones diferenciales parciales (PDE) no lineales.

Otra forma de visualizar un sistema puede ser concebirlo como una dicotomía cuyo cociente son los sistemas abiertos y sistemas cerrados. En uno cerrado (termómetro, globo inflado, olla a presión, foco de luz), la energía es constante. La entropía, que es una magnitud física para un sistema termodinámico se incrementa y se aproxima a su máximo cuando el tiempo tiende hacia el infinito y se equilibra. En este tipo de sistemas básicamente todas las soluciones se estabilizan a soluciones de equilibrio y el sistema contiene una solución suave (smooth solution) que es una función o curva que tiene una única derivada en cada punto. Esto significa que la función o curva se desplaza suavemente de un punto a otro, sin cambios bruscos de dirección.

En los sistemas abiertos (taza de té caliente, motor de auto, ser vivo), se intercambia la energía y la masa. Para estudiar su comportamiento debemos buscar soluciones grandes fuera de equilibrio, es decir, una solución débil (weak solution) que no es más que una función en la cual las derivadas que aparecen en la ecuación pueden no todas existir aunque se considera que satisfacen la ecuación en algún sentido definido con precisión. La teoría ergódica postula la existencia de una medida de probabilidad que describe el comportamiento del sistema a largo tiempo.

La Mecánica de Fluidos describe el estado de un fluido viscoso compresible conductor de calor en términos de su densidad de masa, temperatura y velocidad, esto evaluado a un tiempo y posición espacial determinados.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son el conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de fluidos newtonianos (aquellos cuya viscosidad es constante como el agua). Para generalizarlas se usa el teorema del transporte de Reynolds y el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) para obtener las ecuaciones en una forma más práctica para la formulación euleriana. Estas 3 ecuaciones simbolizan matemáticamente la continuidad,  la cantidad de movimiento, y la conservación de la energía; pueden representarse en su formulación integral o en su forma diferencial, dependiendo del problema.  Para simbolizar este movimiento se hace de forma langraniana y euleriana. En la primera se sigue cada partícula fluida en su movimiento y se buscan funciones que nos den la posición, así como las propiedades de la partícula en cada instante. En la segunda, que es la más común, se asigna a cada punto del espacio y en cada instante un valor para las propiedades o magnitudes fluidas sin considerar qué partícula fluida ocupa, en ese instante, ese volumen diferencial, por lo que ya no se utiliza la derivada ordinaria para plasmar esta variación sino la derivada sustancial o derivada material. Buckmaster y Vicol proporcionaron la existencia de infinitas soluciones débiles de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Las ecuaciones de Euler, que también son diferenciales parciales, se derivan de las ecuaciones de Navier-Stokes con viscosidad cero y conductividad térmica cero. Describen el flujo adiabático. 

El sistema Navier-Stokes-Fourier es un conjunto de ecuaciones de campo (las cuales definen la dinámica de un campo físico, específicamente su evolución temporal y distribución espacial) que describen el movimiento de un fluido compresible, viscoso y conductor de calor, incluyendo el modelado del movimiento de gases. Reflejan los principios físicos básicos de la conservación de la masa (la masa en un sistema aislado no se crea ni se destruye, sino que puede transformarse de una forma a otra; según esta ley la masa de los reactivos debe ser igual a la masa de los productos para un proceso termodinámico de baja energía), el balance de momento (segunda ley de Newton que indica la tasa de cambio del momento lineal de un cuerpo; establece que la fuerza resultante sobre un objeto es proporcional a la tasa de cambio de su momento que se encuentra en la misma dirección de dicha fuerza) y la energía interna de balance:

El sistema integra la ley de viscosidad de Newton que establece que la relación entre el esfuerzo cortante (fuerza aplicada por unidad de área) y la velocidad de corte es constante para una temperatura y presión dadas. También contempla los principios de la ley de Fourier del calor que establece que el flujo de calor es proporcional al gradiente de temperatura y a la conductividad térmica del material. El flujo de calor es proporcional al área de la superficie a través de la cual fluye el calor e inversamente proporcional a la longitud del flujo. 

Para ampliar nuestra comprensión de este tema es necesario familiarizarse con algunos conceptos como el de energía libre de Gibbs, que es una función de estado que se utiliza para predecir si un proceso es espontáneo o no; relaciona la entalpía, la entropía y la temperatura. Se utiliza para predecir la espontaneidad de una reacción química. Esta energía obedece a las leyes de la termodinámica, como a la segunda ley que dicta que los procesos espontáneos aumentan la entropía del universo y son irreversibles.

La ecuación de balance de entropía plantea la hipótesis de que el cambio de entropía de un sistema termodinámico es equivalente a la generación de entropía dentro del sistema, además de la entropía neta transmitida al sistema a través del límite. La ecuación muestra que la tasa de cambio de la entropía por unidad de volumen de sustancia se debe al flujo de entropía por convección, al flujo de entropía por conducción y a la generación de entropía. Para determinar la relación entre el flujo de calor y el flujo de energía interna de conducción, y para determinar la intensidad de la fuente de entropía, se debe derivar la ecuación de balance de entropía basándose en el equilibrio termodinámico local. La estabilidad termodinámica ocurre cuando un sistema se encuentra en su estado de energía más bajo o en equilibrio químico con su entorno. Este puede ser un equilibrio dinámico en el que los átomos o moléculas individuales cambian de forma, pero su número total en una forma particular se conserva. La tercera ley de la termodinámica nos dice que la entropía de un sistema en el cero absoluto es una constante bien definida. Esto se debe a que un sistema a temperatura cero existe en su estado fundamental, por lo que su entropía está determinada únicamente por la degeneración de dicho estado.

Dado que el sistema Navier-Stokes-Fourier contiene ecuaciones de campo las cuales son diferenciales parciales, existen familias de soluciones que representan diversas posibilidades físicas. Generalmente, no existe una única ecuación, sino un conjunto de ecuaciones acopladas que deben resolverse simultáneamente. El sistema puede resolverse a través de métodos numéricos; la convergencia de éstos se ha demostrado bajo diversas hipótesis. Se estudian con varias condiciones de frontera como las de Dirichlet y las periódicas. El movimiento del fluido es impulsado por la fuerza volumétrica, así como por las condiciones iniciales de frontera. En la práctica, la fuerza volumétrica coincide con el gradiente (función de valor vectorial que señala el cambio de una cantidad en relación con otra variable) de un potencial gravitatorio. La contribución relacionada a la energía de balance puede incorporarse sencillamente a la energía potencial, por lo que el sistema es formalmente conservativo.  

La solubilidad del sistema Navier-Stokes-Fourier en el marco de soluciones fuertes (suaves) se conoce solo para intervalos de tiempo cortos. Nilasis Chaudhuri junto con otros investigadores demostraron la existencia de soluciones globales débiles en el tiempo de un sistema compresible Navier-Stokes Fourier en un espacio de tres dimensiones, por lo que afirmamos que hay compatibilidad entre soluciones fuertes y débiles asociadas a las mismas condiciones iniciales de frontera. Un inconveniente al trabajar con este tipo de soluciones es el de la unicidad porque no se sabe si están determinadas únicamente por los datos iniciales.

Un sistema dinámico disipativo es aquel abierto que intercambia energía y materia con su entorno. Se caracteriza por disipar gradientes de energía y por operar fuera del equilibrio termodinámico. La multiestabilidad en ellos significa la coexistencia de diferentes estados estables finales. Un tornado puede considerarse un ejemplo. La disipatividad de Levinson es otro concepto utilizado para describir especificamente el centro de sistemas semidinámicos disipativos impulsivos investigando sus propiedades topológicas. Las propiedades de disipatividad se pueden utilizar para analizar sistemas y diseñar controladores. También para estudiar la existencia de atractores y estadísticas invariantes; para obtenerlas, los modelos aprendidos necesitan generar trayectorias acotadas en horizontes temporales largos, con esto, es posible construir soluciones estadísticas de trayectoria para ecuaciones de Euler disipativas y de Navier-Stokes.

Observando el comportamiento a largo plazo de los sistemas abiertos de fluidos se sabe que la energía de todas las soluciones globales en el tiempo tiende al infinito a medida que el tiempo crece tan pronto como el sistema se cierra energéticamente y es impulsado por una fuerza de volumen no conservativa. Recientemente, se ha demostrado que las soluciones fuertes se mantienen suaves mientras se controlen la amplitud de la densidad, la temperatura y la velocidad. Consecuentemente en el caso de problemas con datos inciertos, se supone ad hoc que las soluciones numéricas tienen una probabilidad limitada. Esto concuerda con la creencia común de que un enfoque estadístico puede restaurar el planteamiento correcto de los problemas en mecánica de fluidos.

En su célebre artículo de 1949 sobre hidrodinámica estadística, Lars Onsager conjeturó que la regularidad umbral para la validez de la conservación de energía de soluciones débiles de las ecuaciones de Euler es el exponente 1/3. En particular, anunció que para exponentes de Hölder más grandes, cualquier solución débil conservaría la energía, mientras que para cualquier exponente más pequeño hay soluciones que no la conservan. La primera prueba de la última parte de la conjetura de Onsager en un espacio de Hölder fue dada por De Lellis y Szekelyhidi Jr. Además, varios autores ampliaron estas técnicas para generar resultados para ecuaciones estocásticas de fluidos.

Recientemente en esta área de investigación se han presentado resultados nuevos y técnicas innovadoras. Edouard Feireisl es un destacado matemático checo que ha logrado avances significativos en esto. Aquí presenta "On the long-time behavior of open fluid systems", una exposición brindada en Septiembre del año pasado como parte del programa "Análisis determinístico y estocástico de las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes". 

El desafío esta más vivo que nunca, el problema de Navier-Stokes es uno de los siete Problemas del Milenio, propuestos por el Instituto Clay en el año 2000. Demostrar la existencia, unicidad y regularidad de las soluciones de estas ecuaciones sigue siendo un dilema. En 1900, el influyente matemático alemán David Hilbert presentó 23 problemas fundamentales durante el Congreso Internacional de Matemáticos. El sexto de estos problemas planteaba un reto formidable: crear un marco matemático unificado que pudiera describir tanto el comportamiento de partículas individuales como el de fluidos en tres escalas diferentes: el nivel microscópico donde las partículas individuales siguen las leyes del movimiento de Newton; el nivel intermedio o mesoscópico regulado por las leyes estadísticas de Boltzmann; y finalmente el nivel macroscópico, donde intervienen ecuaciones difíciles como la de Navier-Stokes-Fourier. Pues bien al parecer se ha conseguido. Los investigadores Zaher Hani, Deng Yu y Ma Xiao presentaron hace unos días en marzo un artículo publicado en arXiv –una plataforma de acceso abierto- en el que aseguran haber resuelto el sexto problema de Hilbert. Habrían llegado a unificar las leyes de la física que rigen los fluidos en distintas escalas; tanto el movimiento de un océano entero como el de cada gota de agua que lo compone. El equipo habría logrado derivar rigurosamente las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos, como las ecuaciones de Euler compresibles y las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes-Fourier partiendo de sistemas de partículas microscópicas que experimentan colisiones elásticas, esto reconfigurando los cálculos empleando diagramas creados por el físico Richard Feynman. Los matemáticos encontraron una manera de reducir el número de diagramas necesarios, lo que les permitió construir un camino matemático claro desde las leyes de Newton hasta las complejas ecuaciones que describen fluidos. La importancia de este logro trasciende el campo puramente matemático por sus aplicaciones potenciales como el diseño de sistemas hidráulicos y aerodinámica. Ahora, -coinciden los investigadores- el enigma reside en determinar en qué situaciones estas ecuaciones pueden fallar y cómo la teoría puede ampliarse o ajustarse para modelar fenómenos más extremos aniquilando la frontera de la física y las matemáticas, como un suspiro fugaz que se disuelve en la inmensidad del vacío para no volver jamás. Gracias Mr. Eduard!

FUENTES

• E. Feireisl. On compactness of solutions to the compressible isentropic Navier-Stokes equations when the density is not square integrable. Comment. Math. Univ. Carolin. 42 (1), 83–98, 2001. 

• E. Feireisl. Dynamics of viscous compressible fluids. Oxford University Press 2004.

• A new construction of weak solutions to compressible Navier-Stokes equations.

• Convergence of Numerical Methods for the Navier–Stokes–Fourier System Driven by Uncertain Initial/Boundary Data. Eduard Feireisl. Mária Lukáčová-Medvid’ová. Bangwei She. Yuhuan Yuan. April 2024.

• Conditional regularity for the Navier-Stokes-Fourier system with Dirichlet boundary conditions. D. Basari´c, E. Feireisl and H. Mizerová. J. Differ. Equ., 365: 359-378, 2023.

•The Rayleigh–Benard problem for compressible fluid flows. Eduard Feireisl. Agnieszka Swierczewska Gwiazda. Institute of Mathematics of the Academy of sciences of the Czech Republic.

• Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera. Dennis G. Zill. Michael R. Cullen. 7a. Edición. Trad. Ana Elizabeth García Hernández.

• Hilbert's sixth problem: derivation of fluid equations via boltzmann's kinetic theory. Yu Deng. Zaher Hani. Xiao Oma.

• Nonuniqueness of weak solutions to the Navier-Stokes equations. Tristan Buckmaster. Vlad Vicol. 2017